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======Der beheizte Speicher======

Wir wollen die Betriebsbedingung des in [[grundlagen:bauphysikalische_grundlagen:waermespeicher_anwendung|Wärmespeicher-Anwendung]] behandelten Speichers etwas variieren, das System aber auch dabei immer noch sehr einfach halten: Wir fügen eine Wärmequelle hinzu, die zusätzlich eine Wärmeleistung $P_\odot$ direkt in den Speicher einspeist. Das kann z.B. ein Heizwendel im Speicher sein oder auch eingestrahlte Solarenergie((Wie in Physik und Technik durchaus üblich, erlauben wir hier nun auch "negative" Leistungen - das ist dann ein aktiver Wärmeentzug aus dem Speicher, wie das z.B. mit einem Kühler erreicht werden kann. Alle behandelten Gleichungen belieben dann, wie leicht einzusehen ist, völlig unverändert gültig. Das gilt z.B. auch dann, wenn die Temperatur im Speicher zum Anfangszeitpunkt $\vartheta_0$ geringer war als die der Umgebung $\vartheta_e$. Der Wärmeverluststrom ist dann negativ (also ein Wärmegewinn) und die Temperatur im Speicher nähert sich dann eben von unten an die Umgebungstemperatur an. Physikalisch und mathematisch ist das, eben bis aufs Vorzeichen, der gleiche Prozess. Der Anschaulichkeit halber bleiben wir bei unserer Beschreibung aber bei der Vorstellung, dass die zugeführte Leistung ein 'Wärmegewinn' ist; auch das ist sogar immer noch korrekt, denn ein Wärmegewinn mit negativem Vorzeichen ist eben gerade ein Wärmeverlust in der Höhe des Betragswertes.)). Diese Leistung sei zunächst als zeitlich konstant angenommen. \\ \\ 
Wir machen uns zuerst klar, dass, wenn der Speicher die Temperatur $\vartheta_f = \vartheta_e + P_\odot / H \;\;$ hat, der zugeführte zusätzliche Wärmestrom gerade eben ausreicht, die Wärmeverluste über den Leitwert $H$ in die Umgebung mit der Temperatur $\vartheta_e$ auszugleichen: Es bleibt kein Energiestrom in oder aus dem Speicher übrig; die Speichertemperatur bleibt also genau auf dieser Endtemperatur((english: final)). Liegt eine andere Temperatur $\vartheta$ vor, so lautet die Energiebilanz am Speicher nun((Beachte: Das $-t_f$ auf der linken Seite in der Klammer kann ergänzt werden, weil es sich um eine Konstante handelt, deren Ableitung Null ist ))\\ \\ 
$\displaystyle {C \cdot \frac {\mathrm{d} (\vartheta-\vartheta_f)}{\mathrm{d} t} = -H \cdot (\vartheta-\vartheta_e) + P_\odot }\;$ \\ \\ 
$\displaystyle {C \cdot \frac {\mathrm{d} (\vartheta-\vartheta_f)}{\mathrm{d} t} = -H \cdot (\vartheta-(\vartheta_e + P_\odot /H ))}\; $ \\ \\ 
$\displaystyle {C \cdot \frac {\mathrm{d} (\vartheta-\vartheta_f)}{\mathrm{d} t} = -H \cdot (\vartheta-\vartheta_f)}\; . \;\;\;\;\;\;\;\;\; $ [iSpDGL]\\ \\ 
Nun ist diese [iSpDGL] mathematisch genau die gleiche Gleichung wie [SpDGL], nur, dass hier der konstante Wert $\vartheta_e$ überall durch $\vartheta_f $ ersetzt wurde. Der "beheizte Speicher" verhält sich somit auch in der zeitdynamischen Angleichung der Temperaturen an die finale Temperatur ganz genau gleich wie der schon behandelte sich nur in die Umgebung entladende Speicher: Allein, die finale Grenztemperatur wird um den Betrag $P_\odot / H$ verschoben. Die //Lösungen// sehen genauso aus wie beim Entladen eines Speichers schon behandelt - wobei es sich, je nachdem ob $\vartheta_f$ größer oder kleiner als die Anfangstemperatur  $\vartheta_0$ ist, um ein "Aufladen des Speichers" (mit Annäherung an die finale Grenztemperatur von unten) oder weiterhin um ein "Entladen", mit Annäherung an die finale Grenztemperatur von oben, handelt. Die Zeitkonstante ist in allen Fällen die gleiche: $\tau = C/H \;$.\\ \\ 
$\displaystyle { (\vartheta-\vartheta_f) = (\vartheta_0-\vartheta_f)\; \mathrm{e}^{-\frac{t}{C/H}} } $.\\ \\ 
Um die Wirkung der eingespeisten Leistung wieder klar erkennen zu können, setzen wir den Ausdruck für $\vartheta_f$ wieder ein und lösen nach $\vartheta$ auf:\\ \\ 
$\displaystyle { \vartheta = \vartheta_e + P_\odot / H + (\vartheta_0-\vartheta_e - P_\odot / H)\; \mathrm{e}^{-\frac{t}{C/H}} } \;\;\;\;\;\;\;\;\; $ [Abkling]\\ \\ 
Diskussion: Das liefert für $t=0$ den Anfangswert $\vartheta_0$ und für $t \rightarrow \infty$ die finale Grenztemperatur $\vartheta_f=\vartheta_e + P_\odot / H $. Das ist übrigens exakt der gleiche Wert, der sich für die sich einstellende Temperatur ergeben würde, wenn der Speicher gar nicht da wäre. Mit dem Ladewärmestrom bewirkt ein Speicher daher nur bzw. gerade, dass die Gleichgewichts-Grenztemperatur nicht sofort, sondern gedämpft durch eine Abklingkurve erreicht wird.\\ \\ 
Es stellt sich heraus, dass wir mit der analytischen Lösung [Abkling] bereits die wichtigsten Bestandteile für ein vollständiges Gebäudemodell verfügbar haben, das wir auf den nun folgenden Seiten behandeln wollen: Die Abläufe im und um das Gebäude lassen sich nämlich meist in Abschnitte mit ausreichend konstanten Umgebungstemperaturen und eingespeisten Leistungen aufteilen: Oft ist es zulässig, komplizierter Verläufe einfach stückweise durch die zugehörigen arithmetischen Mittelwerte an zu näheren und auf diesen Stücken dann [Abkling] anzuwenden. Wir werden später auch noch sehen, warum das in Gebäuden sogar für längere Zeiträume (<2 h) immer noch eine ziemlich gute Approximation darstellt. \\ \\ \\ 

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