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--- grundlagen:herleitung_des_strahlungsgesetzes [2022/07/08 13:55] – wfeist
+++ grundlagen:herleitung_des_strahlungsgesetzes [2024/04/29 18:43] (aktuell) – wfeist
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 An den Wänden muss die Parallelkomponente des elektrischen Feldes und die Normalkomponente des magnetischen Feldes verschwinden. Die Felder sind daher Überlagerungen periodischer Funktionen. Die drei Wellenlängenkomponenten $\lambda_1, \lambda_2,$ und $\lambda_3 $ orthogonal zu den Wänden können also sein:
 ${\displaystyle \lambda_i = \frac{2L}{n_i}, }$
-wo die $n_i$ positive ganze Zahlen sind. Für jedes  $n_i$ gibt es zwei unabhängige Lösungen (Moden der Polarisation). Nach der Quantenannahme
+wo die $n_i$ positive ganze Zahlen sind. Für jedes  $n_i$ gibt es zwei unabhängige Lösungen (Moden der Polarisation).\\ \\
+Jetzt gehen wir von der schon erwähnten 'Quantenannahme' aus, danach ist die Energie eines Photons zur Frequenz f gegeben durch
 ${\displaystyle \varepsilon=hf=\frac{hc}{\lambda}}$
-sind die Energieniveaus dann gegeben durch:\\
+Die möglichen Energieniveaus der Strahlung im Würfel sind daher gegeben durch:\\
 $E_{n_1,n_2,n_3}\left(r\right)=\left(r+\frac{1}{2}\right)\frac{hc}{2L}\sqrt{n_1^2 + n_2^2 + n_3^2}. $        [P1]
-Die Quantenanzahl $r$ wird interpretiert als die Zahl der Photonen zu diesem Zustandsmodus. Die beiden Moden jedes $n_i$ korrespondieren zu den Polarisationsrichtungen des Photons (senkrecht zur Ausbreitungsrichtung). Auch für $r= 0$ ist die Energie des Schwingungsmodus nicht Null. Diese "Vakuumenergie" des elektromagnetischen Feldes bewirkt einen Teil des sog Casimir-Effektes. Nun berechnen wir zunächst die Innere Energie im Würfel bei der absoluten Temperatur $T$.
+Die Quantenanzahl $r$ lässt sich als die Zahl der Photonen zu diesem Zustandsmodus interpretieren. Die beiden Moden jedes $n_i$ korrespondieren zu den beiden Polarisationsrichtungen des Photons (die zwei Richtungen senkrecht zur Ausbreitungsrichtung). Auch für $r= 0$ ist die Energie des Schwingungsmodus nicht Null((Diese "Vakuumenergie" des elektromagnetischen Feldes bewirkt einen Teil des sog Casimir-Effektes.)). Nun berechnen wir zunächst die Innere Energie im Würfel bei der absoluten Temperatur $T$.
-Nach der statistischen Mechanik ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung im Gleichgewicht von Energieniveaus durch: \\
+Nach der statistischen Mechanik ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung im Gleichgewicht für die Energieniveaus proportional zu: \\
 ${  \displaystyle P_r =\frac{e^{-\frac{E(r)}{kT}} } {Z(\beta)}   }$
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 mit der schon bekannten Bolzmann-Konstante $k$.
-Im Nenner steht mit $Z(β)$ die Zustandssumme des betreffenden Modes, die gerade alle $P_r$ in der Summe auf 1 normiert: \\
+Im Nenner steht mit $Z(β)$ die sogenannte Zustandssumme des betreffenden Modes; das ist die Summe aller dieser Faktoren $e^{-\frac{E(r)}{kT}}$. Das ergibt zunächst nicht 1, mit den Wahrscheinlichkeiten $P_r$ ist das aber so: Teilt man alle Faktoren durch $Z(β)$, dann ist das der Fall (sogenannte Normierung auf 1). \\
-${ \displaystyle Z ( \beta ) = \sum_{r=0}^{\infty} e^{-\beta E(r)} = \frac{e^{-\beta \varepsilon / 2} }{1-e^{-\beta \varepsilon } .} }$
+${ \displaystyle Z ( \beta ) = \sum_{r=0}^{\infty} e^{-\beta E(r)} = \frac{e^{-\beta \varepsilon / 2} }{1-e^{-\beta \varepsilon } .}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\textstyle{[Z-Summe]} }$
 Wo wir als Abkürzung
 $\varepsilon\ := \frac{hc}{2L} \sqrt{n_{1}^{2}+n_{2}^{2}+n_{3}^{2}},$
-eingeführt haben, was gerade die Energie eines einzelnen Photons ist. Wie wir andernorts erklären ist die mittlere Energie in diesem Mode:\\
+eingeführt haben, was gerade die Energie eines einzelnen Photons ist. Wie wir im nächstfolgenden Kasten erklären ist die mittlere Energie in diesem Mode:\\
 ${\displaystyle \left\langle E_\lambda \right\rangle=-\frac{d\log\left(Z\right)}{d\beta}= \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{e^{\beta\varepsilon}-1}.}$
 Diese Formel (abgesehen vom Vakuumenergie-Term) ist ein Spezialfall der allgemeinen Bose–Einstein Verteilung.
+<WRAP box lo>
+Beweis des Zusammenhangs für die mittlere Energie:  Die mittlere Energie ist gerade die Summe über alle Energiewerte jeweils multipliziert mit deren Eintrittswahrscheinlichkeiten\\ \\
+${\displaystyle \left\langle E_\lambda \right\rangle= \frac {\sum_{r=0}^{\infty} E(r) \cdot e^{-\beta E(r)}}{\sum_{r=0}^{\infty} e^{-\beta E(r)}}  }$\\ \\
+Beobachtung: Leiten wir $Z ( \beta )$ nach $\beta$ ab, dann ergibt sich\\ \\
+${\displaystyle \frac{d\log\left(Z\right)}{d\beta}=\frac {d}{d \beta}\left(\sum_{r=0}^{\infty} e^{-\beta E(r)}\right) = -{\sum_{r=0}^{\infty} E(r) \cdot e^{-\beta E(r)}}}$\\ \\
+und das ist gerade der Zähler in der Gleichung ganz oben im Kasten. Der Nenner ist die Zustandssumme, d.h. der Normierungswert für die Wahrscheinlichkeiten.\\ \\
+Die Ableitung können wir aber andererseits unmittelbar aus dem expliziten Ergebnis für die Zustandssumme nach [Z-Summe] ausrechnen und erhalten daraus das aufgeführte Ergebnis.
+</WRAP>
 Relativ zum Grundzustand ergibt sich die Gesamtenergie im Würfel durch die Summe $⟨E_\lambda⟩ − \frac{ε}{2}$ über alle Einzel-Photonenzustände. Im thermodynamischen Grenzwert mit $L$ sehr groß wird $ε$ stetig und wir können dann   $⟨E_\lambda⟩ − \frac{ε}{2}$ integrieren. Dazu müssen wir die Zahl der Photonenzustände zu gegebenen Energiezuständen bestimmen. Wenn wir die Photonenzustände zwischen $ε$ und $ε$ + d$ε$ als $g(ε)dε$ schreiben, wo $g(ε)$ die Dichte der dieser Photonenzustände ist (siehe unten), dann können wir schreiben:\\
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 ${\displaystyle \varepsilon\ := \frac{hc}{2L}n, }$ \\
-wo $n$ die Länge des Vektors $\overrightarrow{n} = (n_1, n_2, n_3)$ ist.
+wo $n$ die Länge des Vektors $\overrightarrow{n} = (n_1, n_2, n_3)$ ist:
 $n = \sqrt{n_1^2 + n_2^2 + n_3^2}.$
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 ${ \displaystyle \dot{q}_f(T) = \frac{2 hf^3 }{c^2}~\frac{1}{e^{hf/kT}-1}.}$
-das kann in einen Ausdruck für $ \dot{q}_λ(T) $ in Abhängigkeit von der Wellenlänge durch die Substitution ${ f=\frac {c}{\lambda} }$ verwandelt werden, wobei
+das kann in einen Ausdruck für $ \dot{q}_λ(T) $ in Abhängigkeit von der Wellenlänge durch die Substitution ${ \displaystyle { f=\frac {c}{\lambda} }}$ umgewandelt werden, wobei
 ${ \displaystyle \dot{q}_\lambda(T) = \dot{q}_f\left|\frac{df}{d\lambda}\right|.}$
-(Die Ableitung basiert auf [Brehm/Mullin|1989] und Wikipedia-Artikel darüber in englischer Sprache, wobei wir jedoch hier unsere eingeführten Variablenbezeichnungen verwenden. Wir haben das hier aus folgenden Gründen übernommen: 1) Die Herleitung ist vollständig. 2) Sie ist gut verständlich und lässt es zu, die entscheidenden Gedankengänge zu betonen. 3) Leider gibt es bisher keine Übersetzung in der deutschen Wikipedia. 4) Leider kommt es immer wieder vor, dass sich die Bezugsadressen von tiefen Links in Wikipedia verschieben, so dass ein Verweis dann ins "Leere" führt. 5) Der Herleitung hier erlaubt es uns, diese mit weiteren Erläuterungen (insb. Grafiken) zu ergänzen. Verweise und weiterführende Bemerkungen haben wir teilweise entfernt, um den Blick auf das Wesentliche nicht hzu verstellen). \\
+<WRAP box lo>Die Ableitung basiert auf [Brehm/Mullin|1989] und Wikipedia-Artikel darüber in englischer Sprache, wobei wir jedoch hier unsere eingeführten Variablenbezeichnungen verwenden. Wir haben das hier aus folgenden Gründen übernommen: 1) Die Herleitung ist vollständig. 2) Sie ist gut verständlich und lässt es zu, die entscheidenden Gedankengänge zu betonen. 3) Leider gibt es bisher keine Übersetzung in der deutschen Wikipedia. 4) Leider kommt es immer wieder vor, dass sich die Bezugsadressen von tiefen Links in Wikipedia verschieben, so dass ein Verweis dann ins "Leere" führt. 5) Der Herleitung hier erlaubt es uns, diese mit weiteren Erläuterungen (insb. Grafiken) zu ergänzen. Verweise und weiterführende Bemerkungen haben wir teilweise entfernt, um den Blick auf das Wesentliche nicht zu verstellen).</WRAP> \\
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