Wir wollen die Betriebsbedingung des in Wärmespeicher-Anwendung behandelten Speichers etwas variieren, das System aber auch dabei immer noch sehr einfach halten: Wir fügen eine Wärmequelle hinzu, die zusätzlich eine Wärmeleistung $P_\odot$ direkt in den Speicher einspeist. Das kann z.B. ein Heizwendel im Speicher sein oder auch eingestrahlte Solarenergie²⁴⁾. Diese Leistung sei zunächst als zeitlich konstant angenommen.

Wir machen uns zuerst klar, dass, wenn der Speicher die Temperatur $\vartheta_f = \vartheta_e + P_\odot / H \;\;$ hat, der zugeführte zusätzliche Wärmestrom gerade eben ausreicht, die Wärmeverluste über den Leitwert $H$ in die Umgebung mit der Temperatur $\vartheta_e$ auszugleichen: Es bleibt kein Energiestrom in oder aus dem Speicher übrig; die Speichertemperatur bleibt also genau auf dieser Endtemperatur²⁵⁾. Liegt eine andere Temperatur $\vartheta$ vor, so lautet die Energiebilanz am Speicher nun²⁶⁾

$\displaystyle {C \cdot \frac {\mathrm{d} (\vartheta-\vartheta_f)}{\mathrm{d} t} = -H \cdot (\vartheta-\vartheta_e) + P_\odot }\;$

$\displaystyle {C \cdot \frac {\mathrm{d} (\vartheta-\vartheta_f)}{\mathrm{d} t} = -H \cdot (\vartheta-(\vartheta_e + P_\odot /H ))}\; $

$\displaystyle {C \cdot \frac {\mathrm{d} (\vartheta-\vartheta_f)}{\mathrm{d} t} = -H \cdot (\vartheta-\vartheta_f)}\; . \;\;\;\;\;\;\;\;\; $ [iSpDGL]

Nun ist diese [iSpDGL] mathematisch genau die gleiche Gleichung wie [SpDGL], nur, dass hier der konstante Wert $\vartheta_e$ überall durch $\vartheta_f $ ersetzt wurde. Der „beheizte Speicher“ verhält sich somit auch in der zeitdynamischen Angleichung der Temperaturen an die finale Temperatur ganz genau gleich wie der schon behandelte sich nur in die Umgebung entladende Speicher: Allein, die finale Grenztemperatur wird um den Betrag $P_\odot / H$ verschoben. Die Lösungen sehen genauso aus wie beim Entladen eines Speichers schon behandelt - wobei es sich, je nachdem ob $\vartheta_f$ größer oder kleiner als die Anfangstemperatur $\vartheta_0$ ist, um ein „Aufladen des Speichers“ (mit Annäherung an die finale Grenztemperatur von unten) oder weiterhin um ein „Entladen“, mit Annäherung an die finale Grenztemperatur von oben, handelt. Die Zeitkonstante ist in allen Fällen die gleiche: $\tau = C/H \;$.

$\displaystyle { (\vartheta-\vartheta_f) = (\vartheta_0-\vartheta_f)\; \mathrm{e}^{-\frac{t}{C/H}} } $.

Um die Wirkung der eingespeisten Leistung wieder klar erkennen zu können, setzen wir den Ausdruck für $\vartheta_f$ wieder ein und lösen nach $\vartheta$ auf:

$\displaystyle { \vartheta = \vartheta_e + P_\odot / H + (\vartheta_0-\vartheta_e - P_\odot / H)\; \mathrm{e}^{-\frac{t}{C/H}} } \;\;\;\;\;\;\;\;\; $ [Abkling]

Diskussion: Das liefert für $t=0$ den Anfangswert $\vartheta_0$ und für $t \rightarrow \infty$ die finale Grenztemperatur $\vartheta_f=\vartheta_e + P_\odot / H $. Das ist übrigens exakt der gleiche Wert, der sich für die sich einstellende Temperatur ergeben würde, wenn der Speicher gar nicht da wäre. Mit dem Ladewärmestrom bewirkt ein Speicher daher nur bzw. gerade, dass die Gleichgewichts-Grenztemperatur nicht sofort, sondern gedämpft durch eine Abklingkurve erreicht wird.

Es stellt sich heraus, dass wir mit der analytischen Lösung [Abkling] bereits die wichtigsten Bestandteile für ein vollständiges Gebäudemodell verfügbar haben, das wir auf den nun folgenden Seiten behandeln wollen: Die Abläufe im und um das Gebäude lassen sich nämlich meist in Abschnitte mit ausreichend konstanten Umgebungstemperaturen und eingespeisten Leistungen aufteilen: Oft ist es zulässig, komplizierter Verläufe einfach stückweise durch die zugehörigen arithmetischen Mittelwerte an zu näheren und auf diesen Stücken dann [Abkling] anzuwenden. Wir werden später auch noch sehen, warum das in Gebäuden sogar für längere Zeiträume (<2 h) immer noch eine ziemlich gute Approximation darstellt.

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